Mathématiques et multimédia

Les nouveaux instruments de calcul et de géométrie
mardi 15 octobre 2002
par  Alain Prevot

Certains
ont cru que les machines à faire des calculs et tracer des
courbes menaçaient les mathématiques voire en annonçaient la
fin. C’est ignorer que de tout temps maths et instruments
matériels et symboliques de calcul (calculi, abaques, écriture
symbolique des nombres, numération, écriture algébrique,
logarithmes, tables et règles à calcul, ...) se sont
développés conjointement. Depuis le milieu du XXe,
les développements de l’informatique interrogent la science
mathématique tant à travers de nouvelles pratiques
(l’ordinateur : outil de simulation, de conjecture) que
dans chaque domaine de recherche (mathématiques discrètes,
algorithmique, logique appliquée, ...).
 Il y déjà deux décennies
qu’ont été introduites les calculatrices dans
l’enseignement ; leurs performances évoluent et on
n’en mesure pas encore tous les effets (positifs comme
négatifs) sur les apprentissages ; par exemple, sur le
statut et l’écriture des nombres. Dans les programmes, un
flot de prescriptions fait de l’ordinateur le nouvel outil
incontournable.

Logiciels
et activité de l’élève

 Tableurs,
logiciels de géométrie dynamique (geoplan, cabri
géomètre
), sont particulièrement adaptés pour faire
varier à moindre coût les variables numériques, géométriques
ou aléatoires, pour permettre des expérimentations et faire
apparaître des lois numériques, géométriques ou probabilistes
issues de l’expérience. Ils favorisent ainsi
questionnement, conjecture et développement des capacités
d’observation, d’interprétation et d’imagination ; ils
peuvent permettre de traiter des situations avant que les
connaissances théoriques requises soient acquises. En
géométrie dans l’espace, les logiciels de construction
permettent à l’élève d’obtenir à volonté
différentes vues de la figure. Indéniablement, l’arsenal
pédagogique est enrichi et, en classe de maths, le
vidéo-projecteur relié à un ordinateur devient un outil aussi
essentiel que le tableau noir.
 Les nouveaux programmes font
cependant peu état des logiciels de calcul formel qui modifient
l’enseignement du calcul algébrique et différentiel :
capables d’exécuter des calculs exacts sur les nombres, les
vecteurs, les matrices, les polynômes, d’opérer formellement
sur les fonctions (calculs de limites, dérivation, intégration,
résolution d’équations), on peut imaginer que ces logiciels, en
libérant des calculs, permettraient de se consacrer aux concepts
et aux démarches en jeu.
 Les prescriptions, en particulier
de l’Inspection Générale, qui, de façon coercitive et
normative, veulent en imposer et réglementer l’usage,
pourraient laisser penser que l’intégration des TICE va de
soi. Ce n’est pas le cas. Elle nécessite des compétences
relatives à la technologie utilisée et des compétences
mathématiques que nous n’avons pas toujours. Le temps
nécessaire à leur acquisition est ignoré.
 L’ordinateur donne à voir ce
que le tableau noir n’aurait pas permis, mais que
l’élève ait vu n’implique pas qu’il ait
compris ; d’ailleurs il ne sait pas toujours remarquer
de lui-même ce que nous voudrions qu’il voit. Les
activités avec les TICE ne peuvent être de simples adaptations
d’activités pensées pour le papier/crayon ( construire une
courbe, un lieu géométrique n’a pas le même sens selon
les instruments utilisés). Selon l’environnement, la même
activité favorisera ou non anticipation, imagination, mobilisera
ou non telle connaissance.
 On balbutie encore :
l’intégration de l’ordinateur se réduit souvent dans
les manuels à une suite de tâches à exécuter, bien loin
d’une démarche expérimentale. Le passage de
l’expérimentation sur ordinateur à la démonstration des
résultats obtenus est source de problèmes et parfois de
difficulté : " Si la conviction issue du
travail expérimental ne laisse pour les élèves plus place à
l’incertitude, c’est la recherche de raisons,
d’explications à ce qui a été obtenu qui doit prendre le
relais. Ceci sera sans doute plus facile si le résultat est
étonnant que s’il apparaît complètement banal mais, de
toutes façons, ne va pas de soi... 
" (Michèle
Artigue) .
 Difficile de trouver le juste
équilibre entre questionnement, observations, tâtonnements,
élaboration de tests d’expérimentation et
validation ; d’autant que le temps imparti à la formation
mathématique (en collège et lycée), les conditions
d’équipement, de maintenance des matériels,
d’enseignement (dédoublement au collège), la faible
formation des enseignants sont autant d’obstacles
supplémentaires à une intégration réussie des TICE.

Quelques
exemples d’exploitation de logiciels en mathématiques

Faire
percevoir une propriété géométrique avec un logiciel de
géométrie dynamique

S’intéresser au qu<font
size="3" face="Comic Sans MS"> hspace="10" vspace="10" width="302" height="200"><font
color="#000000" face="Arial">adrilatère formé par les milieux
des cotés d’un quadrilatère quelconque. Soient I, J, K, L
les milieux des côtés [AB], [BC], [CD], [DA]. Que peut on dire
du quadrilatère IJKL ?
La construction de la figure avec Géoplan oblige
à choisir A, B, C, D comme points libres ; I, J, K,
L sont liés aux précédents. La facilité à déplacer
les points A, B, C D et à en observer les effets sur la figure
permet de faire percevoir un
" invariant " : quelles que soient les
positions de A, B, C, D, IJKL est un parallélogramme. On peut
rechercher des positions de A, B, C, D pour lesquelles IJKL est
un losange, un rectangle ou un carré, percevoir ainsi la notion
de " situation particulière ", formuler des
conjectures dont il restera à établir la validité.

Traiter
un problème d’optimisation avec un tableur grapheur, un
logiciel de géométrie

  • Déterminer le
    volume maximal d’un cylindre inscrit dans un cône
    donné.

La démarche peut être
plus ou moins progressive selon les niveaux : choix
d’une variable et de ses valeurs possibles, calcul de
volumes pour différents cylindres, expression du volume en
fonction de la variable choisie ; passage de l’algèbre
à la fonction avec tableaux de valeurs et représentation
graphique, questionnement sur la fonction (continuité,
variation, extremum) pour préparer l’introduction de
l’analyse en 1°. Sur géospacw on peut
observer la forme du cylindre quand le point H décrit l’axe
[OS] du cône. Il peut être intéressant de demander aux
élèves la construction de la figure avec le logiciel.

<font color="#000000" face="Arial"> <font color="#000000" face="Arial"> <p align="center"><img src="http://www.adapt.snes.edu/multimed/21math4.gif" align="right" hspace="0" width="189" height="215">

Autre possibilité :
bservation simultanée du cylindre lorsque H décrit [OS], et du
lieu des points M(x ,v), x désignant la longueur OH et v le
volume du cylindre. Il est donc possible d’approcher
expérimentalement la position de H qui semble correspondre au
maximum. L’unicité d’un point H répondant à la
question et le calcul de sa valeur exacte ne peuvent être
résolus qu’en première avec la dérivée.

Tableurs
et calculatrices permettent de construire des tables de valeurs
approchées

Dans le cas où le cône a
pour hauteur et rayon 5 cm, on obtient avec un pas de 0,5 :

Longueur OH

<font
color="#000000" face="Arial">0

<font
color="#000000" face="Arial">0,5

<font
color="#000000" face="Arial">1

<font
color="#000000" face="Arial">1,5

<font
color="#000000" face="Arial">2

<font
color="#000000" face="Arial">2,5

<font
color="#000000" face="Arial">3

<font
color="#000000" face="Arial">3,5

<font
color="#000000" face="Arial">4

<font
color="#000000" face="Arial">4,5

<font
color="#000000" face="Arial">5

Volume du cylindre (cm3)

<font
color="#000000" face="Arial">0

<font
color="#000000" face="Arial">31,8

<font
color="#000000" face="Arial">50,2

<font
color="#000000" face="Arial">57,7

<font
color="#000000" face="Arial">56,5

<font
color="#000000" face="Arial">49,1

<font
color="#000000" face="Arial">37,7

<font
color="#000000" face="Arial">24,7

<font
color="#000000" face="Arial">12,6

<font
color="#000000" face="Arial">3,5

<font
color="#000000" face="Arial">0

 Cette
séquence ainsi que l’étude de l’aire de la surface
latérale du cylindre sont présentées sur le site
<a
href="http://www.educnet.education.fr/math/reforme.htm"
target="_blank">http://www.educnet.education.fr/math/reforme.htm<font
color="#000000" face="Arial"> (l’étude de l’aire est
intéressante car la fonction aire change de nature selon
la forme du cône).

Percevoir
les " lois du hasard " avec
l’ordinateur

 En
répétant un grand nombre de fois une expérience aléatoire,
grâce à la simulation sur ordinateur, on permet
l’observation du hasard et on fait
percevoir "l’existence" de " lois
du hasard ".
 Un exemple : lancer deux dés
et noter la somme des résultats obtenus. Répéter
l’expérience 10, 50, 100, 50 fois, observer les
distributions des fréquences. Lorsque le nombre de
l’échantillon devient grand, les distributions de
fréquences se stabilisent selon une " loi ".
Cette approche permet d’établir un lien entre expérience
et modèle théorique ; de la même façon que la
géométrie est une modélisation du monde sensible qui nous
entoure, la théorie des probabilités est une modélisation
du hasard.

<font
color="#000000" face="Arial"> align="absmiddle" width="320" height="224">

Aborder
des questions pour lesquelles les élèves n’ont pas encore
les réponses théoriques

 

Les résultats obtenus en
lançant un dé 500 fois sont :

Face obtenue

<font
color="#000000" face="Arial">1

<font
color="#000000" face="Arial">2

<font
color="#000000" face="Arial">3

<font
color="#000000" face="Arial">4

<font
color="#000000" face="Arial">5

face="Arial">6

Effectif

<font
color="#000000" face="Arial">92

<font
color="#000000" face="Arial">83

<font
color="#000000" face="Arial">95

<font
color="#000000" face="Arial">69

<font
color="#000000" face="Arial">72

face="Arial">89

Fréquence

<font
color="#000000" face="Arial">0,184

<font
color="#000000" face="Arial">1,166

<font
color="#000000" face="Arial">0,190

<font
color="#000000" face="Arial">0,138

<font
color="#000000" face="Arial">0,144

face="Arial">0,178

Faut il penser
que le dé est truqué ? (La question est posée dans les
programmes de Tles S et ES)
 Comparons avec le modèle
théorique d’un dé non truqué : la probabilité
correspondant à chaque face est 1/6 soit 0,1667. L’écart
entre la distribution des fréquences et la loi de probabilité
est il trop important pour qu’avec suffisamment de certitude
on puisse affirmer que le dé est truqué ? Qu’en est
il de cet écart lorsqu’on lance 500 fois un
" dé non truqué " ? Ne disposant pas
des éléments théoriques nécessaires pour répondre (test du
Khi-2), on étudie la distribution de ces écarts pour plusieurs
milliers de dés non truqués qui auront été simulés avec
l’ordinateur.

Cédéroms
et logiciels pour les mathématiques

Voir sur notre site,
également :


- Cédéroms tous publics testés par les collègues du Snes

- Logiciels libres

- Nos pages de liens désignant notamment des listes de
logiciels, graticiels, etc.

En passant par un portail
disciplinaire ou à l’aide d’un logiciel de recherche, on trouve
de nombreux logiciels dont ceux cités dans ces pages et des
exerciseurs
, permettant aux élèves de s’entraîner et
de consolider les notions de cours par une distribution
d’exercices "à volonté", avec possibilité
d’auto-évaluation. Un marché potentiel dans le domaine du
parascolaire. On y trouve le meilleur (tel Interesp,
logiciel de construction d’intersection dans l’espace)
comme le pire.


Contact

ADAPT
46 av d’Ivry
75013 Paris



Tel : +33 1 40 632 830
Fax : +33 1 40 632 815
Mél : adapt@snes.edu
SIRET : 348 625 864 000 15

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